Nach dem Zerfallsgesetz sinkt die Zahl der anfangs instabilen Kerne exponentiell mit der Zeit. -Teilchen). Hier werden sogar drei Funktionen gesucht, nämlich die Bahnkurven \(x\), \(y\) und \(z\), die eine Position der Masse im dreidimensionalen Raum bestimmen. Wurzel aus einer negativen Zahl ergibt keine reelle Zahl mehr, sondern eine komplexe Zahl. DGL höherer Ordnung in DGL's 1. Es handelt sich um exponentiellen Zerfall. Manchmal weißt du beispielsweise, wie das System zu einem einzigen bestimmten Zeitpunkt gegeben war. [mit Video . Die Lösung einer Differentialgleichung beschreibt ganz viele mögliche Systeme, die ein bestimmtes Verhalten aufweisen. Meistens wirst du auf sogenannte Anfangsbedingungen und Randbedingungen stoßen. 8 Meegeren zu. Wenn wir unser Zerfallsgesetz nach der Zeit t ableiten, erhalten wir. Ordnung umwandelnEs ist immer möglich eine DGL höherer Ordnung in ein System von Differentialgleichungen 1. Das Zerfallsgesetz hat die allgemeine Form N(t) = N o * e-kt Falls die Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion der Bauart %%f(x)=84\, a Dieses Jod 131 hat eine so genannte Halbwertszeit von 8,0 Tagen, d.h. in jeweils 8,0 Tagen halbiert sich die Menge des noch vorhandenen radioaktiven Materials Jod 131. T 1/2 ein Achtel (12,5%) der ursprünglich unzerfallenen Kerne vorhanden. Und der Koeffizient \(K\) ist in diesem Fall eine Zerfallskonstante \(\lambda\). Ordnung. Kernreaktionen sind Wechselwirkungsprozesse von Atomkernen mit anderen Teilchen (wie z.B. Hier lernst du die Leibniz-, Newton- und Lagrange-Notationen einer Differentialgleichung kennen. Differentialgleichung beschrieben: = - λ N (λ heißt Zerfallskonstante und ist charakteristisch für das zerfallende Element). Erinnerst du dich noch daran, was das für das betrachtete System bedeutet? Das ist der erste Schritt, den du vor dem Lösen einer DGL machen musst! Es gibt natürlich noch mehr Klassifizierungen und Lösungsmethoden. Wem die Herleitung zu kompliziert ist (oder wer gleich wissen will, was rauskommt), der kann direkt zur Zusammenfassung springen. Die Kerne zerfallen proportional zum vorhandenen Bestand. Vergiss auch nicht die Integrationskonstante! Das heißt, wir müssen nur die homogene Lösung herausfinden. Bedenke jedoch, dass es kein allgemeines Rezept gibt, wie du eine beliebige Differentialgleichung lösen kannst. Hier lernst du die Delta-Funktion und ihre Eigenschaften kennen, mit der du beispielsweise eine elektrische Punktladung beschreiben kannst. Diese Gleichung kann man mit dem Ansatz einer Exponentialfunktion lösen (bzw. Wenn du übrigens eine homogene DGL 3. Die \(60\rm{s}\) entsprechen also etwa drei Halbwertszeiten, so dass die Halbwertszeit ca. Mit den dazugehörigen \(\lambda\)-Werten ist das auch schon die Lösung der homogenen Differentialgleichung 70: Je nach dem, welche Werte die Koeffizienten \(K_1\) und \(K_0\) haben, können die Lösungen ein unterschiedliches Verhalten zeigen. Die linke Seite dagegen lässt sich integrieren. Drucken. Den inhomogenen Typ hast du genau dann, wenn du deine DGL in die folgende Form bringen kannst: Die inhomogene Version unterscheidet sich von der homogenen 30 nur dadurch, dass der alleinstehende Koeffizient, also die Störfunktion \(S(x)\), nicht null ist. Schauen wir uns diese Methode am besten direkt an einem Beispiel an. Dann fließt ein zeitabhängiger Strom \(I(t)\) durch die Spule und den Widerstand. 2. Auf diese Weise kannst du mithelfen... oder mit der Ausbreitung eines Virus zu beschäftigen. Wir können leicht zeigen, dass die Beschleunigung \(a\) die zweite Zeitableitung des zurückgelegten Wegs ist, also in unserem Fall ist es die zweite Ableitung von \(y\) nach der Zeit \(t\): Und schon haben wir eine Differentialgleichung für die Auslenkung \(y\) aufgestellt! Es gibt ganze Bücher, die dem Lösen von Differentialgleichungen gewidmet sind. Die Differentialgleichung für exponentielles Wachstum (auch Differentialgleichung für natürliches Wachstum genannt) ist eine der zwei Arten von Differentialgleichungen, die im Abitur auftauchen und deren allgemeine Lösung als bekannt vorausgesetzt werden ; Exponentielles Wachstum exponentieller Zerfall oder die exponentielle . Nutzen wir diese Eigenschaften in unserer Lösung aus: Jetzt siehst du, warum diese Umformung sinnvoll war. Lektion. Ableitung ay00(x)+by0(x)+cy(x) = f(x) a, b und c sind Konstanten. einfach integrieren) und erhält das Zerfallsgesetz: , wobei die Anzahl der Nuklide zum Zeitpunkt t=0 bedeutet und k seine Bedeutung als . Ordnung haben. Du kannst aber noch nicht konkret sagen, wie viele Kerne nach so und so viel Zeit schon zerfallen sind. Während die Masse schwingt, ändert sich natürlich die Auslenkung \(y\). Wie kann man die Menge %%\mathrm M=\mathrm M\left(\mathrm t\right . Diese werden dir behilflich sein durch das Abitur und die Anfänge des Studiums zu kommen. Anschaulicher als diese Größe ist die Zeit, die vergeht, bis die Anzahl der noch nicht zerfallenen Atome auf die Hälfte abgenommen hat: n t = n 0 e− t, t . Ordnung umwandeln. Wir können also nicht einfach die erste DGL unabhängig von der zweiten DGL lösen, weil die zweite DGL uns verrät, wie sich das \(y\) in der ersten DGL verhält. Ordnung. Wenn du Nebenbedingungen, wie \(y(t_1)\) und \(y(t_2)\), gegeben hast, die zu zwei verschiedenen Zeitpunkten \(t_1\) und \(t_2\) das System beschreiben, dann sprechen wir von Randbedingungen. Ein Koeffizient muss nicht unbedingt mit der gesuchten Funktion oder ihrer Ableitung multipliziert sein. Lösen einer Differentialgleichung mithilfe der e-Funktion. Die Betrachtung realer Wachstumsprozesse in der Natur führt zum JavaScript muss aktiviert sein, um dieses Formular zu verwenden. Zunächst zu der allgemeinen Form: N 0 ist der Anfangsbestand. Wenn es nicht klar ist, dann solltest du explizit ausschreiben, von welcher Variablen \(y\) abhängt: Jede Schreibweise hat ihre Vor- und Nachteile. Dann spuckt der Computer eben keine konkrete Formel heraus, sondern Datenpunkte, die du in einem Diagramm darstellen und daran das Verhalten der DGL untersuchen kannst. Was bedeutet es überhaupt, wenn wir gekoppelte Differentialgleichungen haben? Benutze dazu auf beiden Seiten die Exponentialfunktion \(\mathrm{e}^{...}\): Die Summe im Exponentialterm auf der linken Seite kannst du in ein Produkt aufspalten, wobei \(\mathrm{e}^{\ln(y)}\) einfach \(y\) ist: Bringe nur noch die Konstante \(\mathrm{e}^{A}\) auf die rechte Seite: und benenne sie in eine neue Konstante \(C\) um. Lass uns jetzt herausfinden, was diese Lösung mit Schwingungen zu tun hat. Zerfallsgesetz ist die in der Physik übliche Bezeichnung der Gleichung, die eine exponentielle zeitliche Abnahme von Größen beschreibt. Das Isotop 226Radium hat eine Halbwertszeit von 1600 Jahren. Anschließend kommt der Koeffizient, der vor der gesuchten Funktion selbst steht, nämlich \(D/m\). Hier lernst Du alles über Kronecker-Delta! Lösen wir das Randwertproblem, so können wir mit der Lösung vorhersagen, wie sich das System innerhalb dieser Randwerte verhält. Eine Funktion, bei der das der Fall ist, ist . Außerdem kann nur bei nicht-linearen Differentialgleichungen ab der dritten Ordnung Chaos auftreten. Übersicht Versuche Übersicht Versuche. Differentialgleichung des beschränkten Wachstums. das Wirtschaftswachstum, die Entwicklung von Tierpopulationen bzw. Sorry: Jetzt wird es mal ein bisschen theoretisch. Differentialgleichung des beschränkten Wachstums. Dann sagt er dir, dass eine allgemeine Lösung \(y\) einer inhomogenen lineare DGL sich aus zwei Anteilen zusammensetzt: aus einer homogenen Lösung \( y_{\text h} \) der DGL. \(D\) ist hierbei ein konstanter Koeffizient, der beschreibt, wie schwer es ist, die Feder zu dehnen oder zu stauchen. Differentialgleichung: f '( x) =−k ⋅f (x) Der radioaktive Zerfall verläuft exponentiell (Zerfallsgesetz). Gleichungen mit großen Zahlen Lichtquanten: Teilchenmodell Comptoneffekt: Unschärferelation: Wellenpakete Nuklidkarte: Isotope, a, b, g - Zerfall (Chemie der stabilen Zerfallsreihen . Für f(x) = 0 ist die DGL homogen, für f(x) 6= 0 in-homogen. Wir können beispielsweise diese DGL 2. Ordnung. Das Isotop 226Radium hat eine Halbwertszeit von 1600 Jahren. geht nun das Zeitintervall (t2-t1) gegen NULL. Eine quadratische Gleichung hat wie gesagt zwei Lösungen \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) und diese kannst du beispielsweise mithilfe der pq-Formel bestimmen: Da du zwei \(\lambda\) Werte bekommst, müssen wir beide berücksichtigen. Ordnung in zwei gekoppelte Differentialgleichungen 1. Auch das Umformen und Umbenennen ändert nichts an der Physik unter der Haube dieser DGL. Das machst du, indem du einmal \(C(x)\) ableitest und lässt \( y_{\text h} \) stehen und dann lässt du \(C(x)\) stehen und leitest \( y_{\text h} \) ab. Über welches Kapital kannst Du nach der Zeit verfügen? Wir können die Kraft nach dem zweiten Newton-Axiom als \(m \, a \) schreiben: Hierbei ist \(a\) die Beschleunigung, die die Masse erfährt, wenn sie um \(y\) aus der Ruhelage ausgelenkt ist. Zerfallskonstante bedeuten; λ hängt mit der Halbwertszeit über t 1 / 2 = ln 2 /λ . Bringt man diese Differentialgleichung 1. Das Zerfallsgesetz. Aber wir dürfen das Minuszeichen vor die Sinusfunktion ziehen: \( \sin(-x) = -\sin(x) \). Ich hoffe du weißt, wie eine Exponentialfunktion abgeleitet wird! Sehr schön. in über 100. http://www.walter-fendt.de/ph11d/. Benutzen wir die hergeleitete Lösungsformel 55 für die inhomogene lineare DGL 1. Und in der DGL tauchen auch Ableitungen nach diesen Variablen auf. a) Erstellen Sie das sogenannte Zerfallsgesetz, indem Sie die Differentialgleichung lösen. Beachte außerdem, dass diese Methode des Exponentialansatzes eine Ratemethode ist. Diese Lektion darf mit der Angabe des Copyrights weiterverwendet werden! und aus einer speziellen Lösung, die wir mit \( y_{\text s} \) bezeichnen. \(20\rm{s}\) beträgt. Dabei werden die Exponentialfunktionen zu 1 und die Faktoren \(i \, \omega\) kürzen sich weg: Wir wissen jetzt also dass \(C_2\) gleich \(C_1\) sein muss. h��Xmo�6�+�eŖ�E��4m���l ���h��lwk���#��rWI���$�x�{x�vFH���@8��. Lass uns am besten den Ausdruck \(\sqrt{\frac{D}{m}}\) etwas kompakter mit \(\omega\) bezeichnen: Diese Lösung sieht auf den ersten Blick sehr abstrakt aus. Exponentialansatz für lineare DGL beliebiger Ordnung. Dieser Koeffizient steht in der charakteristischen Gleichung allein dar. Auf diese Weise hast du auf der linken Seite nur \(y\)-Abhängigkeit stehen und auf der rechten Seiten nur die \(x\)-Abhängigkeit: Jetzt kannst du auf der linken Seite über \(y\) integrieren und auf der rechten Seite über \(x\): Die Integration von \( 1 / y \) ergibt den natürlichen Logarithmus von \(y\). Ordnung. Um nun eine allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DGL 2. In der Kernphysik gibt das Zerfallsgesetz die Anzahl der zu einem Zeitpunkt noch nicht zerfallenen Atomkerne einer radioaktiven Substanzprobe an. Lass uns dazu erstmal die DGL in einer kompakteren Newton-Notation schreiben, mit den Punkten für die Zeitableitungen: Gehen wir den schnellen Weg und schreiben direkt die charakteristische Gleichung für diese DGL hin. Bei N(t)=4 ist nicht ganz deutlich, ob t=0 oder t=2 sein soll. Dann bekommen wir die zweite DGL 1. Vor die Exponentialfunktion kommt lediglich \(\frac{L}{R}\) als Faktor dazu. Vergleiche dazu die homogene DGL mit der charakteristischen Gleichung. In diesem Dossier geht es um eine Funktion, die entweder rasant ins Unendliche wachsen oder unendlich langsam auf Null abfallen kann, und die sich überall in der Physik unglaublich nützlich macht, weil sich mit ihr eine große Klasse von Differentialgleichungen lösen lässt. Deshalb lassen wir die rechte Seite einfach so stehen. Diese Anzahl beträgt =,wobei die Anzahl der am Anfang (=) vorhandenen Atomkerne und die Zerfallskonstante des . 'Partiell' bedeutet, dass die gesuchte Funktion \(E\) von mindestens zwei Variablen abhängt und es kommen Ableitungen nach diesen Variablen vor. Nach dem du eine DGL klassifiziert hast, kannst du dann gezielt eine passende Lösungsmethode anwenden, um die DGL zu lösen. Mit dem Zerfallsgesetz kann man bestimmen, welche Menge einer radioaktiven Substanz nach einer bestimm-ten Zeit noch vorhanden ist. Kernphysik 2. Das mit dem 'Funktionswert an zwei verschiedenen Zeitpunkten' war natürlich nur ein Beispiel. gewöhnliche DGL beliebiger Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Kernphysik 1. Hier lernst Du Levi-Civita-Symbol kennen; wie es definiert wird und wie damit Spatprodukt und Kreuzprodukt geschrieben und bewiesen werden können. Zerfallsgesetz: (Einfache Differentialgleichung) (Auswertung mit Excel) [Übungsblatt mit Versuchsdaten] Statistik; Fehlerrechnung Massendefekt / Energie: (Relativitätstheorie) Berechnen von phys. Möchtest du helfen, die Universaldenkerwelt mit aufzubauen? Differentialgleichung für exponentielles Wachstum lösen. Der obige Graph beschreibt die Wertentwicklung eines Gegenstandes mit einem Anschaffungswert von 5000 €, der mit 20 % pro Jahr abgeschrieben wird. Wir notieren die Halbwertszeit mit . In so einem Fall sprechen wir von Anfangsbedingungen. Download books for free. Nach dem Video wirst du den Typ einer Differentialgleichung erkennen können und wie du einfache DGL mittels 4 Methoden lösen kannst. Mathematische Methoden der Theoretischen Physik | 1: Gewöhnliche Differentialgleichungen - Fourieranalysis - Vektoranalysis | Gebhard Grübl | download | Z-Library. Viele Wachstums- und Zerfallsprozesse in Natur und Technik verlaufen exponentiell. Und der Koeffizient \(K_0\) vor der Funktion \(y\) selbst, steht in der charakteristischen Gleichung allein da. Parallelreaktionen. Nach der Lösungsformel musst du den Koeffizienten, also die Zerfallskonstante über \(t\) integrieren. endstream
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d) Geben Sie an, nach wie vielen Tagen nur mehr 2 Gramm Wismut vorhanden sind. 5 min.) N(t)=et Ø N'(t)= et =N(t) Die Formel muss nun nur mehr soweit abgeändert werden, dass sie auch l beinhaltet. Get the free "Gleichung nach einer Variable umstellen" widget for your website, blog, Wordpress, Blogger, or iGoogle. Im Grunde kannst du die charakteristische Gleichung direkt durch das Angucken deiner DGL aufstellen, ohne diese ganzen Schritte machen zu müssen. Da in der DGL die erste Ableitung fehlt, ist der \(\lambda\)-Term in der charakteristischen Gleichung ebenfalls nicht da. b) Leiten Sie die Formel τ . Die Halbwertszeit ist nun die Zeit T 1 / 2, nach der nur noch die Hälfte der Substanz vorhanden ist, es gilt also N ( T 1 / 2) = N 0 / 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten für S - y ≠ 0 kann diese Gleichung folgendermassen geschrieben werden: k S y y =− − −& Da im Zähler die Ableitung des Nenners steht, kann . Die Differentialgleichung hat hier nicht nur eine sondern unendlich viele Lösungen. Als Beispiel wollen wir eine Kernreaktion anschauen, die sich für die Altersbestimmung von (organischen) Objekten bewährt hat. Ein Problem zu finden, bei dem die SchülerInnen selbst auf eine Differentialgleichung stoßen können, ist nicht einfach. This isotope has a half-life of 5730 years. Wenn wir die Zeit auf der rechten Seite verändere, bleibt die linke Seite unverändert, da dort keine Zeit \(t\) vorkommt. Das machst du, indem du die herausgefundene Lösung in die DGL einsetzt und schaust, ob beide Seiten gleich sind. Wenn die Störfunktion nicht Null ist, dann musst du zuerst einen Mathematiker fragen. Da 8 das Doppelte von 4 ist, musst du gucken, welche Zeitangaben dazu gehören. Dazu gehören 4 Rechenregeln mit Einsteinscher Summenkonvention, typische Fehler und mehr. Mathematisch drückt sich das in einer Differentialgleichung aus: Dabei ist N die Anzahl der Nuklide, dN/dt Abnahme der Anzahl mit der Zeit, k ein Proportionalitätsfaktor. Problem/Ansatz $$ \begin{align} F ~=~ -D\,y \end{align} $$, $$ \begin{align} m \, a ~=~ -D\,y \end{align} $$, $$ \begin{align} m \, a(t) ~=~ -D\,y(t) \end{align} $$, $$ \begin{align} a(t) ~=~ -\frac{D}{m}\,y(t) \end{align} $$, $$ \begin{align} \frac{\text{d}^2y(t)}{\text{d}t^2} ~=~ -\frac{D}{m}\,y(t) \end{align} $$, $$ \begin{align} \frac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2} ~=~ -\frac{D}{m}\,y \end{align} $$, $$ \begin{align} \ddot{y} ~=~ -\frac{D}{m}\,y \end{align} $$, $$ \begin{align} y'' ~=~ -\frac{D}{m}\,y \end{align} $$, $$ \begin{align} y''(t) ~=~ -\frac{D}{m}\,y(t) \end{align} $$, $$ \begin{align} \frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2} ~+~ \frac{D}{m}\,x ~=~ 0 \end{align} $$, $$ \begin{align} y(t) ~=~ \text{irgendeine Formel} \end{align} $$, $$ \begin{align} y(t) ~=~ \text{es gibt keine Formel} \end{align} $$, $$ \begin{align} \frac{\text{d}^2 \class{red}{ y(t) } }{\text{d}t^2} ~=~ -\frac{D}{m}\,\class{red}{ y(t) } \end{align} $$, $$ \begin{align} \frac{\partial^2 \class{red}{E}}{\partial \class{gray}{x}^2} ~+~ \frac{\partial^2 \class{red}{E}}{\partial \class{gray}{y}^2} ~+~ \frac{\partial^2 \class{red}{E}}{\partial \class{gray}{z}^2} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \frac{\partial^2 \class{red}{E}}{\partial \class{gray}{t}^2} \end{align} $$, $$ \begin{align} \frac{\text{d}^2\class{red}{x}}{\text{d}\class{gray}{t}^2} &~=~ G \, \frac{m}{\sqrt{\class{red}{x}^2 + \class{green}{y}^2 + \class{blue}{z}^2}} \\\\, $$ \begin{align} \frac{\text{d}^2y}{\text{d}\class{gray}{t}^2} ~+~ \frac{D}{m}\,y ~=~ 0 \end{align} $$, $$ \begin{align} \class{red}{\frac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2}} ~+~ \frac{D}{m}\,y ~=~ 0 \end{align} $$, $$ \begin{align} v ~=~ \frac{\text{d}y}{\text{d}t} \end{align} $$, $$ \begin{align} \frac{\text{d}v}{\text{d}t} ~+~ \frac{D}{m}\,y ~=~ 0 \end{align} $$, $$ \begin{align} - \lambda \, N ~=~ \class{red}{\frac{\text{d}N}{\text{d}t}} \end{align} $$, $$ \begin{align} \left(\frac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2}\right)^{\class{blue}{1}} ~+~ \frac{D}{m}\,y^{\class{blue}{1}} ~=~ 0 \end{align} $$, $$ \begin{align} - \lambda \, N^{\class{blue}{1}} ~=~ \left(\frac{\text{d}N}{\text{d}t} \right)^{\class{blue}{1}} \end{align} $$, $$ \begin{align} \left(\frac{\partial^2 E}{\partial x^2}\right)^{\class{blue}{1}} ~+~ \left(\frac{\partial^2 E}{\partial y^2}\right)^{\class{blue}{1}} ~+~ \left(\frac{\partial^2 E}{\partial z^2}\right)^{\class{blue}{1}} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \left(\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}\right)^{\class{blue}{1}} \end{align} $$, $$ \begin{align} \frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2} &~=~ G \, \frac{m}{\sqrt{x^{\class{blue}{2}} ~+~ y^{\class{blue}{2}} ~+~ z^{\class{blue}{2}}}} \\\\, $$ \begin{align} \class{red}{1} \, \frac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2} ~+~ \class{red}{\frac{D}{m}}\,y ~=~ \class{red}{0} \end{align} $$, $$ \begin{align} \class{red}{1} \, \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} ~+~ \class{red}{1} \, \frac{\partial^2 E}{\partial y^2} ~+~ \class{red}{1} \, \frac{\partial^2 E}{\partial z^2} ~=~ \class{red}{\frac{1}{c^2}} \, \frac{\partial^2 E}{\partial t^2} \end{align} $$, $$ \begin{align} \class{red}{1} \, \frac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2} ~+~ \class{red}{\mu}\,\frac{\text{d}y}{\text{d}t} ~+~ \class{red}{\frac{D}{m}}\,y ~=~ \class{red}{F(t)} \end{align} $$, $$ \begin{align} y' ~+~ K(x)\,y ~=~ 0 \end{align} $$, $$ \begin{align} \frac{\text{d}y}{\text{d}x} ~+~ K(x)\,y ~=~ 0 \end{align} $$, $$ \begin{align} \frac{\text{d}y}{\text{d}x} ~=~ -K(x)\,y \end{align} $$, $$ \begin{align} \frac{1}{y} \, \text{d}y ~=~ -K(x) \, \text{d}x \end{align} $$, $$ \begin{align} \int \frac{1}{y} \, \text{d}y ~=~ -\int K(x) \, \text{d}x \end{align} $$, $$ \begin{align} \ln(y) ~+~ A ~=~ -\int K(x) \, \text{d}x \end{align} $$, $$ \begin{align} \mathrm{e}^{\ln(y) ~+~ A} ~=~ \mathrm{e}^{-\int K(x) \, \text{d}x} \end{align} $$, $$ \begin{align} y \, \mathrm{e}^{A} ~=~ \mathrm{e}^{-\int K(x) \, \text{d}x} \end{align} $$, $$ \begin{align} y ~=~ \frac{1}{\mathrm{e}^{A}} \, \mathrm{e}^{-\int K(x) \, \text{d}x} \end{align} $$, $$ \begin{align} y ~=~ C\, \mathrm{e}^{-\int K(x) \, \text{d}x} \end{align} $$, $$ \begin{align} \frac{\text{d}N}{\text{d}t} ~+~ \lambda \, N ~=~ 0 \end{align} $$, $$ \begin{align} N ~=~ C\, \mathrm{e}^{-\lambda \, t} \end{align} $$, $$ \begin{align} N(0) ~=~ 1000 ~=~ C\, \mathrm{e}^{-\lambda \cdot 0} \end{align} $$, $$ \begin{align} N ~=~ 1000\, \mathrm{e}^{-\lambda \, t} \end{align} $$, $$ \begin{align} y' ~+~ K(x)\,y ~=~ S(x) \end{align} $$, $$ \begin{align} y ~=~ C(x) \, y_{\text h} \end{align} $$, $$ \begin{align} y' ~+~ K(x)\,C(x) \, y_{\text h} ~=~ S(x) \end{align} $$, $$ \begin{align} y' ~=~ C'(x) \, y_{\text h} ~+~ C(x) \, y'_{\text h} \end{align} $$, $$ \begin{align} C'(x) \, y_{\text h} ~+~ C(x) \, y'_{\text h} ~+~ K(x)\,C(x) \, y_{\text h} ~=~ S(x) \end{align} $$, $$ \begin{align} C'(x) \, y_{\text h} ~+~ C(x) \, \left( y'_{\text h} ~+~ K(x)\, y_{\text h} \right) ~=~ S(x) \end{align} $$, $$ \begin{align} C'(x) \, y_{\text h} ~=~ S(x) \end{align} $$, $$ \begin{align} C'(x) ~=~ \frac{S(x)}{y_{\text h}} \end{align} $$, $$ \begin{align} \int C'(x) \, \text{d}x ~=~ \int \frac{S(x)}{y_{\text h}} \, \text{d}x \end{align} $$, $$ \begin{align} C(x) + B ~=~ \int \frac{S(x)}{y_{\text h}} \, \text{d}x \end{align} $$, $$ \begin{align} C(x) ~=~ \int \frac{S(x)}{y_{\text h}} \, \text{d}x ~+~ A \end{align} $$, $$ \begin{align} y ~=~ \left( \int \frac{S(x)}{y_{\text h}} \, \text{d}x ~+~ A \right) \, y_{\text h} \end{align} $$, $$ \begin{align} L \, \dot{I} ~+~ R\, I ~-~ U_0 ~=~ 0 \end{align} $$, $$ \begin{align} \dot{I} ~+~ \frac{R}{L}\, I ~-~ \frac{U_0}{L} ~=~ 0 \end{align} $$, $$ \begin{align} \dot{I} ~+~ \frac{R}{L}\, I ~=~ \frac{U_0}{L} \end{align} $$, $$ \begin{align} I ~=~ \left( \int \frac{U_0}{L \, I_{\text h}} \, \text{d}t ~+~ A \right) \, I_{\text h} \end{align} $$, $$ \begin{align} I_{\text h} ~=~ \mathrm{e}^{ - \int \frac{R}{L} \text{d}t } \end{align} $$, $$ \begin{align} I_{\text h} ~=~ \mathrm{e}^{ - \frac{R}{L}\,t } \end{align} $$, $$ \begin{align} I &~=~ \left( \int \frac{U_0}{L \, I_{\text h}} \, \text{d}t ~+~ A \right) \, I_{\text h} \\\\, $$ \begin{align} I &~=~ \left( \int \frac{U_0}{L} \, \mathrm{e}^{ \frac{R}{L}\,t } \, \text{d}t ~+~ A \right) \, \mathrm{e}^{ - \frac{R}{L}\,t } \\\\, $$ \begin{align} I(t) ~=~ \frac{U_0}{R} ~+~ A \, \mathrm{e}^{ - \frac{R}{L}\,t } \end{align} $$, $$ \begin{align} A ~=~ -\frac{U_0}{R} \end{align} $$, $$ \begin{align} I(t) &~=~ \frac{U_0}{R} ~-~ \frac{U_0}{R} \, \mathrm{e}^{ - \frac{R}{L}\,t } \\\\, $$ \begin{align} y''(x) + K_1 \, y'(x) ~+~ K_0 \, y(x) ~=~ S \end{align} $$, $$ \begin{align} y ~=~ y_{\text h} ~+~ y_{\text s} \end{align} $$, $$ \begin{align} y_{\text h}'' + K_1 \,y_{\text h}' ~+~ K_0 \, y_{\text h} ~=~ 0 \end{align} $$, $$ \begin{align} y_{\text h} ~=~ C \, \mathrm{e}^{\lambda \, x} \end{align} $$, $$ \begin{align} y'_{\text h} ~=~ C \, \lambda \, \mathrm{e}^{\lambda \, x} \end{align} $$, $$ \begin{align} y''_{\text h} ~=~ C \, \lambda^2 \, \mathrm{e}^{\lambda \, x} \end{align} $$, $$ \begin{align} C \, \lambda^2 \, \mathrm{e}^{\lambda \, x} + K_1 \,C \, \lambda \, \mathrm{e}^{\lambda \, x} ~+~ K_0 \, C \, \mathrm{e}^{\lambda \, x} ~=~ 0 \end{align} $$, $$ \begin{align} C \, \mathrm{e}^{\lambda \, x} \, \left( \lambda^2 \, + K_1 \lambda ~+~ K_0 \right) ~=~ 0 \end{align} $$, $$ \begin{align} \lambda^2 \, + K_1 \lambda ~+~ K_0 ~=~ 0 \end{align} $$, $$ \begin{align} \lambda_1, \lambda_2 ~=~ -\frac{K_1}{2} ~\pm~ \sqrt{\frac{{K_1}^2}{4} - K_0 } \end{align} $$, $$ \begin{align} y_{\text h} ~=~ C_1 \, \mathrm{e}^{\lambda_1 \, x} ~+~ C_2 \, \mathrm{e}^{\lambda_2 \, x} ~~\text{mit}~~ \lambda_1, \lambda_2 ~=~ -\frac{K_1}{2} ~\pm~ \sqrt{\frac{{K_1}^2}{4} - K_0 } \end{align} $$, $$ \begin{align} y &~=~ C_1 \, \mathrm{e}^{\lambda_1 \, x} ~+~ C_2 \, \mathrm{e}^{\lambda_2 \, x} ~+~ \frac{S}{K_0} \\\\, $$ \begin{align} \frac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2} ~+~ \frac{D}{m}\,y ~=~ 0 \end{align} $$, $$ \begin{align} \ddot{y} ~+~ \frac{D}{m}\,y ~=~ 0 \end{align} $$, $$ \begin{align} \lambda^2 ~+~ \frac{D}{m} ~=~ 0 \end{align} $$, $$ \begin{align} \lambda^2 ~=~ - \frac{D}{m} \end{align} $$, $$ \begin{align} \lambda ~=~ \pm \sqrt{- \frac{D}{m} } \end{align} $$, $$ \begin{align} \lambda ~=~ \pm \sqrt{- 1 } \, \sqrt{ \frac{D}{m} } \end{align} $$, $$ \begin{align} \lambda_1, \lambda_2 ~=~ \pm \mathrm{i} \, \sqrt{ \frac{D}{m} } \end{align} $$, $$ \begin{align} y(t) ~=~ C_1 \, \mathrm{e}^{\mathrm{i} \, \omega \, t} ~+~ C_2 \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \, \omega \, t} \end{align} $$, $$ \begin{align} C_1 ~=~ 1 ~-~ C_2 \end{align} $$, $$ \begin{align} y'(t) ~=~ i \, \omega \, C_1 \, \mathrm{e}^{\mathrm{i} \, \omega \, t} ~-~ \mathrm{i} \, \omega \, C_2 \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \, \omega \, t} \end{align} $$, $$ \begin{align} C_2 ~=~ C_1 \end{align} $$, $$ \begin{align} C_1 ~=~ 1 - C_1 \end{align} $$, $$ \begin{align} y(t) ~=~ \frac{1}{2} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i} \, \omega \, t} ~+~ \frac{1}{2} \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \, \omega \, t} \end{align} $$, $$ \begin{align} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \, \omega \, t} ~=~ \cos(\omega \, t) ~+~ \mathrm{i}\,\sin(\omega \, t) \end{align} $$, $$ \begin{align} y(t) &~=~ \frac{1}{2}\, \cos(\omega \, t) ~+~ \frac{1}{2}\, \mathrm{i}\,\sin(\omega \, t) \\\\, $$ \begin{align} y(t) ~=~ \cos\left(\omega\,t\right) \end{align} $$, $$ \begin{align} \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \frac{\partial^2 E}{\partial t^2} \end{align} $$, $$ \begin{align} E(x,t) ~=~ R(x) \, U(t) \end{align} $$, $$ \begin{align} U(t)\,\frac{\partial^2 R(x)}{\partial x^2} ~=~ \frac{1}{c^2} \, R(x)\, \frac{\partial^2 U(t)}{\partial t^2} \end{align} $$, $$ \begin{align} \frac{1}{R(x)}\,\frac{\partial^2 R(x)}{\partial x^2} ~=~ \frac{1}{c^2} \, \frac{1}{U(t)}\, \frac{\partial^2 U(t)}{\partial t^2} \end{align} $$, $$ \begin{align} \frac{1}{R(x)}\,\frac{\partial^2 R(x)}{\partial x^2} &~=~ K\\\\.
zerfallsgesetz differentialgleichung 2021